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八元数解开宇宙维度(非常令人着迷,宇宙如何运行的答案,或许就藏于八元数之中)



博科园:本文为数学/物理类

也许关于宇宙最值得注意的事实是,宇宙中的每一个粒子,无论何时、何地、在任何条件下,都遵循完全相同的物理定律。自然界遵循的规则对万物来说都是相同的,通过找到描述这些规则的数学结构,我们也可以描述自然。通常,发现一种新的数学结构,会产生一种新物理框架的发展,而在该框架准确描述宇宙的地方,就可以推导出新的物理学。对于宇宙来说,最令人着迷的数学可能性之一是八元数


八元数有机会成为宇宙如何运行的答案?还是仅仅是炒作?下面让我们从头开始:从物理基础上的数学开始,一起来探索答案吧!如果你在数学上所掌握的只是实数概念,你仍然可以走得很远。从伽利略到牛顿,从库仑到麦克斯韦,整个经典物理学都建立在实数的基础上。力定律、运动方程和更多的东西都可以推导出来,而不需要求助于比实数集(包括变量、常数和相关函数)更高级的数学。


要可视化单位八元数的乘法,需要在更高维度的空间中思考(左图),(右图)是任意两个单位八元数的乘法表。

但这已经需要一个花了几千年才发展起来的数学飞跃:将负数包括在内的飞跃。当你把球扔向空中,问它什么时候会落地,你会得到两个关于时间的答案:一个是肯定的,一个是否定的。有时,任何一个答案都可能是正确的,但仅靠数学不能告诉你适用于哪种情况。为此,你需要问题的物理条件,这就是你如何决定哪个答案是相关的。但是,实数⁠(即使同时包括正数和负数⁠)其数学结构的复杂性也是有限的。


例如,任何实数,当你平方它时,不管你开始的实数是正数还是负数,总是得到一个正数。但是,如果尝试取实数的平方根,则只有正数才会给出实数结果。负数的平方根没有很好的定义,如果我们把自己限制在实数集上,无论如何都不是这样。但是有一种新的数学结构可以添加到折叠中,它不仅可以定义负数的平方根,还可以执行仅使用实数不可能进行的新数学运算。这一进步需要完全引入一组新的数:虚数复数,其中虚数i被定义为√(-1)。


实数只有一个实数部分,由实数定义:a,但是复数既有实数部分,也有虚数部分a+bi,其中a是实数部分,bi是虚数部分(B也是实数)。通过从实数学到复数的数学(包括复杂群论的数学),一套全新的物理现象可能会出现。量子物理学不同寻常地利用了这一点,指出执行量子操作的顺序产生了巨大差异。对于实数,你是乘2*3还是乘3*2都无关紧要;你会得到同样的答案,同样对于复数,(2+5i)*(3-4i)与(3-4i)*(2+5i)相同。


但是对于量子操作者来说,顺序是非常重要的,如果你先测量一个量子粒子在x方向上的自旋,然后再在y方向上测量,这个粒子的性质,将与你以相反顺序测量它的性质有根本不同。这个属性称为非交换性⁠,需要复数的数学而不是实数的数学(特别是复向量空间)才能解释它。一个复数的平方可以得到一个负的结果,这一事实催生了狄拉克方程革命性的数学解,预测了“负量子态”的存在。狄拉克最初称这些状态为“空穴”。


但不久之后,物理学家们意识到真正发生了什么:这是反电子或正电子形式的反物质第一个理论预测,其实验证实是现代量子物理学发展过程中最重要的发现之一。你可能会直观地认为,如果能找到一种更复杂、更一般的数学结构来扩展复数⁠(就像复数扩展实数⁠的方)就可以找到一个新物理应用。如果你试图取一个复数的平方根,不管它的实部和虚部是正数还是负数,总是会得到一个复数,所以这条路线不会给你带来更丰富的数学结构。


但是有一个固有的非交换扩展可以应用于复数:不是让i2=-1,而是定义三个独立的实体,i,j和k,其中i2=j2=k2=-1,但是组合i*j*k=-1。这组四重因子,得到的不是实数(A)或复数(a+bi),而是所谓的四元数:a+bi+cj+dk。四元数在数学中非常有用,但它们也与大量的物理应用有关。复数表示二维平面(具有实轴和虚轴)中的点,而四元数具有足够的维度和自由度来描述三维空间中的点。洛伦兹变换使用四元数组,它描述了当接近光速时,长度如何收缩和时间如何膨胀。


广义相对论可以与现代代数中的四元数联系起来,弱相互作用涉及四元数,三维空间旋转也是如此。如果将系统旋转360度,某些量子现象就会反转,但如果你再次旋转720度,就会恢复正常。四元数基本上是不可交换的,并解释为什么将三维对象绕一个轴旋转,然后再绕另一个轴旋转,最终状态与绕相同的两个轴旋转相同的对象不同,但顺序相反。所以,你可能会想,能把四元数延伸得更远吗?有没有其他方法来利用数学,在那里有另一种选择来打开一个更丰富的结构?


答案是肯定的,但这是有代价的,更复杂的数学结构的下一步是从四元数到八元数,每个八元数有八个元素。对于四元数,乘法顺序很重要,因为Q1*Q2与Q2*Q1不同,但四元数仍然是可结合的。如果有三个四元数(q1、q2和q3),则(q1*q2)*q3=q1*(q2*q3)。但是如果你有三个八元数,它们既是非交换的,也是非结合的;乘法顺序不仅重要,而且以这种全新的方式很重要。四元数的数学与许多已知物理理论有关,而八元数的数学描述是超越已知物理的运算。


描述出现在扩展中的现象,如大统一理论(GUTS)和弦理论。虽然八元数在物理学中的应用还只是猜想,但有很多很好的理由让我们对这些想法感兴趣。八元数可以告诉我们,从理论上讲,构建超对称量子场论需要多少时空维度。它们与特殊的李群联系在一起,这些特殊的李群被用来构建量子场,并通过E(8)群在超弦理论中发挥作用。我们在上文中讨论的四类数(实数、复数、四元数和八元数)在抽象代数的数学领域中是特殊的。


(图示)费曼图(上)基于点粒子及其相互作用,将它们转换成弦理论的类似物(下),可以得到具有非平直曲率的曲面。在弦理论中,所有粒子只不过是一种潜在、更基本结构的不同振动模式:弦。但是,与弦理论有着紧密联系的八元数,真的在宇宙中扮演着重要角色吗?或者这只是数学问题?

不会是宇宙运行的“答案”

这四类代数是唯一可以将一个数除以除零以外的任何数,而不会得到未定量的代数,这使它们成为唯一存在的赋范除法代数。如果你试图将八元数扩展成一个16元的代数,就会得到七元数,它们遵循它们自己的非交换、非结合乘法规则,但如果试图合并除法,就会失败。八元数本身永远不会是宇宙万物如何运行的“答案”,但它们确实提供了一种强大、广义的数学结构,具有自己独特的性质。它包括实数、复数和四元数的数学,但也引入了从根本上独特的数学性质。


这些性质可以应用于物理学,以做出新颖的预测,八元数可以给我们一个想法,从已知物理的扩展来看,哪些可能性可能是令人信服的,哪些可能不那么有趣,但八元数本身并没有预测到具体的观测结果。八元数之于物理学,就像塞伦斯之于尤利西斯,八元数也绝对有诱惑力,八元数数学结构具有难以置信的丰富性,但没有人知道这种丰富性对我们的宇宙是否意味着什么,更多的宇宙奥秘和数学,要有待进一步的发现和探索,例如从1、2、3…9之后,人类才突破了有0的概念!

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