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四十二宇宙的答案(曹则贤开讲:什么是相对论?| “新年悟理”2021跨年科学演讲)

2020 最后一天了!

昨晚 7 点,我们搞了件大事!


由中国科学院科学传播局、中国科学院物理研究所与长三角物理研究中心(中国溧阳)联合主办,中国科学报社、中国科学院大学协办的2021“新年悟理”跨年科学演讲在北京举行,中科院物理所曹则贤研究员现场开讲《什么是相对论》,北京广播电视台著名节目主持人春妮受邀担任现场主持。

出于疫情防控考虑,本次跨年演讲严格控制现场观众数量,以线上直播为主的形式开展,共有数百万人次通过直播方式收看了这次演讲。同步直播的媒体包括:


我们用这种硬核又不失有趣的方式告别特殊的2020年,迎接一个更美好的2021!

昨晚直播结束很多小伙伴表示很喜欢这次“新年悟理”2021跨年科学演讲的内容,所以课代表连夜给大家整理了全文,错过昨晚直播的小伙伴们今天可千万不要再错过了,点击下方卡片即可观看跨年演讲全部内容(视频后还附有文字稿哦)。

本稿由小编整理自现场演讲。

尊敬的各位来宾,远方屏幕前各位亲爱的朋友们大家晚上好,这里是中国科学院物理研究所,我是物理所的职工曹则贤,感谢大家参加今年的跨年演讲。

今年是非常艰难的一年,但是我们国家还是欣欣向荣,在这样一片祥和的气氛中迎接新年。有这样不幸中的万幸,我觉得除了因为我们有坚强的领导和伟大而又自律的人民,还因为我们的国家热爱科学、相信科学、崇尚科学,并且以极大的热情拥抱科技的进步。

人类社会经历过三次工业革命,每一次工业革命都是源自物理学的革命性进展,并带来物理学的革命进展。中国错过了三次工业革命,但是我们现在已经初步完成了工业化进程,并且率先呼应工业 4.0 时代的到来。在 2020 年

这一切都是了不起的技术进步,都是让我们为之非常自豪的进步。中华民族是一个伟大勇敢的民族,她也一直是一个追求智慧的民族。我们不仅要为这个世界提供产品和技术,我们还要有能力为技术提供科学、为科学提供思想、为思想提供能够深入思考的大脑。而这一切,都要求我们早日把我们的国家建设成一个具有深厚科学素养的国家。

我们都有受教育的权利,我们还有受最深刻教育的愿望,有掌握最顶尖科学知识的愿望。21世纪是技术超越了神话的时代,我个人觉得物理学应该成为我们每一个人的知识标配

谈到物理学,大家可能都知道物理学有两座高山,就是我们称之为近代物理两大支柱的学问,一个是量子力学,一个是相对论。去年此刻也是在这儿,我们一起领略了量子力学的神奇和费解,今天我邀请大家一起,以轻松愉快的心情来领略一下相对论的厚重与深邃。

#“一切都是相对的”

提起相对论,大家可能都会想到这样的场景——孪生子佯谬、还有《星际穿越》和《回到未来》这样的电影,以及“一切都是相对的”这样的哲学梦呓。这样的知识其实不足以构成我们对相对论的理解。所以在 1923 年,有一位 21 岁的英国青年叫狄拉克,就对课堂上教相对论只会教“一切都是相对的”这么一句空话感到非常恼火。他决定自己开始学习和研究相对论,当然同时也伴随着研究量子力学。到了 1926 年,三年以后的他已经为量子力学的创立做出了伟大的贡献。而 5 年以后,仅仅到了 1928 年他就写出了这样一个方程,

这个方程就是相对论性量子力学方程,现在我们管它叫狄拉克方程。

这个方程后来写到了狄拉克的墓碑上,也是我们人类物理学史上浓重的一笔。狄拉克方程可以用存在反粒子予以诠释 (不是显然地预言反粒子的存在!)。这个方程提出以后的 4 年,1932 年,正电子就在宇宙射线和原子和相互作用的过程中被发现了。

狄拉克的这个例子给我们什么启示呢?我个人觉得就是面对学问怀有敬畏心才是正确的打开方式,要学你就当真学,要学你就学个底儿掉

我在跨年科学演讲上讲量子力学和相对论,很多同事跟我说,要努力地把它讲得浅显易懂。我说不对,我不做这个事情,我想做的事情就是要告诉大家,就我能够读到的内容,量子力学到底是什么样子的,相对论到底是什么样子的。我觉得我们应该作为一个老师,作为一个够岁数的长辈,我们有义务给年轻人,给民众讲清楚量子力学和相对论——当然还包括经典力学,电动力学,规范场论等等这样一些学问,到底是什么样子的。这是我们的义务,也是我们科学院对社会的一份责任。

所以说本次讲座我讲的内容可能是走马观花,但这套 PPT 尽可能包含了多而全面的内容,也包含那些经典的文献,希望一些年轻的老师,读大学的,读研究生的朋友们,未来拿到这份 PPT 的时候,大家能够认真学习一下。

#相对论是什么样的学问?

相对论到底是什么学问?历史上能和它媲美的有两个其他学问,一个是热力学,还有一个是规范场论,这三门学问都是从原理出发,一点点构造的学问。相对性原理是相对论的核心,是我们构造物理理论必须满足的要求(postulate)。我们在汉语里把它翻译成公理,这是错误的,实际上它是要求,你构造的原理就要满足它的要求。相对论的发展是一个长达 300 年的过程,在 1915 年底过新年的时候,在爱因斯坦得出引力场方程的时候达到了顶峰。它是物理现实的内在和谐与数学表达的形式美学之间的相互激励的结果。这里有一个关键词——变换不变性,这是相对论的核心思想。接下来我们就一起看看相对论从当初最朴素的思想,经过狭义相对论广义相对论这样一条思想河流上,到底有着多么迷人的画卷。

物理学主角就三个东西,时间、空间、物质,当然最后都是落到物质上。物质本身的存在让我们有位置或者有空间的感觉,而位置的变化就是运动,让我们有时间的感觉。如何理解时间、空间以及物质之间的关系,就构成了我们物理学这样一个主要的基石。大家知道时间和空间是靠光(速)联系的。对于物质来说,

关于物理学到底学到什么地方算深邃了呢?我临时抱佛脚,引用杨振宁先生的一句话。

20 世纪物理学真正的辉煌之处在于对一些重要的基本概念,包括时间、空间、运动、能量以及力的深入理解。

这是杨先生的观点。由此我们可以看出世界上那些最伟大的物理学家,他的学问一定体现在对时间和空间概念上的理解。

我举几个例子,在业余时间里参与了量子力学和相对论的创造,并且自己创造了规范场论的这样一个大数学家赫尔曼·外尔(Hermann Weyl),他的《空间、时间和物质》(Raum-Zeit-Materie)这本书,就是一遍一遍地重印,一遍一遍影响着顶级的物理学家。

埃尔温·薛定谔(Erwin Schrödinger),就是那位“著名的养猫专业户”,他著有《时空结构》(Space-time structure)。而今年获得诺贝尔奖著名数学家罗杰·彭罗斯(Roger Penrose),他的这本书《旋量与时空》(Spinors and Space-time),也是非常著名的一本著作。学到去理解时间和空间的关系是一个物理学家要达到的基本高度。


谈论时间和空间,我们是怎么认为的?我们认为世界是三维的,还有一维的时间。这是一般物理学教科书的写法,等到进入狭义相对论的时候,我们会把这个 前面再加上光速 ,因为 和空间是同一个量纲了,这是狭义相对论时间和空间缝到一起了,这就叫时空。正确的描述还需要在这个地方应该加一个虚数,也就是 ——空间加上时间构成的一个数,有四个单元的数,就叫双四元数。一般相对论的书里那些概念为什么搅缠不清呢?就是用的数学不对,或者用的数学不足以反映时空的关系。所以要想真正学会相对论,要多学一些代数和几何的知识。

时空有哪些特征?首先要知道有度规,也就是空间里面距离是怎么量的。另外知道空间的近邻关系,才知道里面怎么输运、怎么做微分

相对论的内容我们就有这么几个部分,我们先聊聊

一般书里能提到的相对论就是狭义相对论和广义相对论的一丁点皮毛,包括后续相对论的发展,还有整体相对论,我还会再聊几句都是非常崇敬的爱因斯坦的轶事和其他成就。

#朴素相对论

谈谈朴素相对论,朴素相对论说的是什么呢?大家看一个景象,这是我们大家都非常熟悉的景象,晴天的时候月亮会从东边缓缓升起。可是在人类几千年的文明史里,没有哪部文学作品会给你描述地球如何升起的景象,直到有一天我们的人类自己能够进入太空的时候才想到这样的景象,地球出来了,这个蓝色的球非常漂亮,这说明什么?这说明这个景象始终是从我们脚底下能看到的景象,我们从来没想到如果把我们的观点(point of view),也就是你看问题的出发点挪到别的地方的时候,你是可以看到其他景象的,但是我们没有这种自觉。所以养成换个观点去看世界的习惯很难,这也是为什么大家经常吵架的原因,我们总是从自己的观点看问题,而不是从别人的观点看问题,虽然很难,但如果养成了这种习惯其实非常有用。


人类文明史上,公元 1600 年前后就有一个德国哲学家,开普勒养成了这样的习惯。开普勒年轻的时候遇到了什么事情呢?就是要研究这么一个问题,这是火星的观测数据:


有八个退行点的一团乱麻,拿到这样的观测数据以后接下来的任务就是要写出它的方程,可是这一团乱麻怎么写出它的方程呢?写不出来。

有一天开普勒想到我们有一套从地球上看到太阳的数据,如果我把火星的数据减去这样一套数据,那不就是相当于从太阳上面看火星的轨道了吗?这么做了以后,他发现火星轨道差不多和学校操场跑道一样,是闭合凸的曲线,凸是比较重要的事情,这样的曲线就比这团乱麻好研究多了,自然而然你会看到原来行星的轨道是绕着太阳这样“火炉子”的简单闭合曲线

我们从地球上看到的火星的运动规律和现在得到的相当于从太阳上看到的火星规律应该是一样的。因为什么呢?因为仅仅是换一个观点,你就看到了不同的世界,你大概不会相信因此世界的规律就变了。所以说,我们换个观点看到那个世界也会让我们得到同样的关于这个世界的规律。

在这个基础上,开普勒就总结出了所谓关于行星运动的三定律。可能大家都记得,

但是对这样的问题,我们的大学教科书里不能停留在 400 年前简单的描述上。开普勒定理,从应用技术上来说有 bug,所以我们发射绕月轨道的时候要比简单的椭圆复杂得多。开普勒三定理有非常深刻的内容,玻尔理解原子光谱分离能级形成的工作也是看的开普勒三定理,这比我们今天大学课本里理解的深刻得多——开普勒三定理是量子力学的入口。

开普勒由此总结出了行星绕太阳运动的轨道,这就是窥透了上帝的秘密,开普勒全集里有这么一句说,

我诚实地承认这项成就让我感觉我胜过你们人类!

这比高考的时候考个全省第一感觉好多了。


开普勒的事例就是朴素相对论的一大成就,如果我们用数学表达是什么意思呢?就是假设这个世界满足的规律是这样一个方程 ,有位置 ,有时间 ,还有我不知道是什么的东西 。如果规律是这样的话,你把空间挪一下,时间简单挪一下,这个方程还应该成立,。

有一句话说,许多科学都存在在古老的智慧里,我信。比如这样的狭义相对论,可能就存在北京西山大觉寺的一个匾额里,这个匾额是什么?是这样四个字“无去来处”,相对的参考点不重要,这是非常非常有趣的智慧

我觉得读会了朴素相对论,大家回过头来再去读陶渊明的《桃花源记》就明白了,你边走边做一个记号,但所有记号都是对称的话,你发现它一点用都没有,因为它满足对称性。这是非常有趣的案例。

#伽利略相对论


我们讲完了朴素相对论,就进入了伽利略相对论。伽利略是意大利人,被称为近代物理之父,也是近代科学之父。你看他给我们创造了多少东西——比如说单摆的周期公式、落体的公式、传说中的比萨斜塔实验和所谓的惯性质量等于引力质量。但是关于惯性这个概念,大家看一看伽利略是怎么得到的。

伽利略说将一个小球从一面斜坡滚下来,会在对面斜坡上差不多达到相同的高度。如果把对面斜坡坡度变小一点,要到相同高度,顺着坡走的路会更长。这个可以理解,这叫观察。

但是观察需要要上升到抽象和理性思维,也就是这样一个极端的情形——假设对面的斜坡坡度等于零,是平的。如果刚才小球运动的的趋势、规律还是对的话,这个小球滚下来以后要努力想回到刚才的高度,但是这个斜坡不管怎么往前滚又没有高度,请问它能怎么办?最终的结果就是这个小球只能以原来的速度,顺着原来的方向一直滚下去,这就是对于惯性的理解。后来被纳入了牛顿三定律的第一定律,这是伽利略做到的。

伽利略在 1632 年《关于两个主要世界体系的对话》这本书里,给我们描述了这样一个情景:假设你坐在一个大船里面,你还带上了蝴蝶、苍蝇、鱼缸里还养着鱼,船舱还漏水。你发现蝴蝶飞和地面上飞是一样的,鱼缸里鱼的游动和家里的也一样,顶上的滴水也是直直滴到下面的,你从这些现象的观察里面是判断不出这个船的运动是不是匀速运动的。

在我们老祖宗的文献里,对这个现象也有精确的描述。东汉时期《尚书纬•考灵曜》里面有一句话,

地恒动不止而人不知,譬如人在大舟中,闭牖而坐,舟行而不觉也。

再比如说像王充的《论衡》,这就是每个物理学大学生要学的基础课,什么叫测量。很多同学都没学过测量,就来做物理类实验研究生了,我们老祖宗这方面的学问很多,非常遗憾的是没能形成一个科学的体系。

伽利略的相对论想说什么意思呢?可以用位置 、时间 和“不知道是什么”的参数 描述世界的规律,

而把位置加上常数乘上时间的话,这个方程还成立,

这个就是伽利略相对论。


和刚才朴素相对论一样也体现在一句古老的智慧里,还是在我们西山大觉寺有一块匾额,这四个字叫“动静等观”。不管你是静止的还是运动起来,从规律的角度来说,你应该看到的是同一个世界,非常酷的四个字。

现在我们有了伽利略的相对论,让我们回头看一看我们已经学的学问,比如说经典力学和电磁学,看看满足不满足伽利略相对论。我们看牛顿第一定律,说任何不受外力影响的物体保持静止或匀速运动,这个词是 inertia,原意是懒。我想告诉大家惯性质量,质量惯性是一个词。牛顿第二定律说,置于外力下的物体,加速度正比于合力,比例系数为质量

牛顿第三定律说,作用总伴随着反作用。大家如果看法国一个电影《放牛班的春天》,你会发现那里老师惩罚孩子的时候就会说“作用”“反作用”,没有“力”这个事情。这个本意是说这个世界上存在着相互作用,但是后来我们发现这个道理竟然也是不对的。海森堡用一个交换作用的概念把相互作用又上了一个层次,这个我们以后再讲。


牛顿力学是不是满足伽利略相对论呢?加速度等于力,加速度是位置对距离的二阶微分,

把距离或者位置加上一个常数乘时间的话,两次微分根本不变,加速度这一侧是没有问题的。是否满足伽利略相对论就看力的形式,力到底是什么形式呢?就要看具体的情况。如果是相互作用的话,会写成两个距离之差 ,这样就一定满足伽利略相对论。


我们用这个眼光看牛顿引力的话,牛顿引力是两个质量体之间的相互作用,万有引力下的运动方程如上图所示。这样的运动方程就满足伽利略相对论,所以说牛顿力学为什么没有更高级的相对论呢?因为伽利略相对论就挺好使

如果我们用伽利略相对论去考察我们的电磁学的话,你会发现有问题了。为什么呢?因为在电磁学里,一个电荷受到的力叫洛伦兹力,运动方程为:

这个地方明显出现了速度这样的变量。伽利略相对论相当于速度有个平移 ,改变了常数,你把速度这一项改变了以后,运动方程左边是不变的,代到右边这一项就变了,所以伽利略相对论是不适用电磁学的,或者电磁学是不适用于伽利略相对论的

一个理论如果不适用于某个对称性的话,说明什么?说明可能正确的对称性你还没找着,所以你别着急。

时间-空间变换与物理学

事情往下,这个时候我们就可以总结一下关于时空的学问了。大家感觉一下,到这个时候那些大物理学家就能够感觉到事情很难了,为什么呢?你会注意到伽利略相对论里,时间和空间的变换是十个参数的数学问题,大家看时间是一个,位置是三维空间的三个参数,速度是三个,转动本身还是三参数的,所以时间-空间变换

是十个参数的东西。

如果你把时间和空间缝到一起,就是我们常说的四维空间。四维空间平移是四个变量,转动是六个自由度,六加四还是十个参数。也就是说要想玩这一套东西,你要习惯于,或者玩一个十参数的参数空间,这就是为什么我们在一些宇宙学或者天体物理会读到十参数这样“比较吓人”的概念。这其实是说简单的事实。大家知道球面在平面铺开是铺不开的,必须在三维空间才能铺成直的,所以我们打篮球、打排球,球面只能在三维空间存在着。

如果你认定有一个四维弯曲空间的话,在几维空间里才能被铺展开是直的?那就是十维,往下事情就有点难了。物理学我们一直在研究变化,但是物理学研究变化的过程中追求的反而是不变,是对称,是等价这样一些概念,这个词请大家一定记住,等价这个词是贯穿整个物理学,包括欧洲哲学和政治经济学的观念。你读热力学、读马克思主义理论其实是同样一个词,等价,大家一定要记住这个词 Equivalence。既然是谈论对称、等价,我们知道群论才是物理学的正确语言。

群论这个概念的引入是 1832 年一个法国小男孩 Galois 引入的,这位老兄十七八岁的时候就做了很多关于群论的东西,二十岁的时候给我们创立了一个叫群论的物理学的语言,所以说我每读到这个时候就特别想,我们有什么理由学不会?人家创造的时候才十六七岁

我有一天认识到群论里面,群的定义有一个非常重要的定义,就是群元素有逆。我突然意识到逆的存在是保证了相对性,这也就是为什么群论是相对论语言重要的一点。

我给大家举两个例子,比如说大家都比较熟悉的正多面体,你可以把它看成是球形液滴的不断变形,但是有一个东西是不变的,就是它的顶点数减去边数,加上面数始终等于二,

其中 是顶点数, 是边数, 是面数,你们自己数一数。这个公式就是欧拉定理。

或者举另外一个例子,这是标准平面空间圆的方程

如果把坐标转动一下,

得出新的坐标还是一个圆的方程

所以说一个圆我们转动的时候,物理上不变,这个就是数学上它的不变。你注意,我们谈论怎么变,怎么变化,怎么变动,但是实际上我们始终在追求理解那个不变。这个理论我刚才举的两个例子都是特别简单的例子,大家一定要学会看到例子的时候要追中间的实质,糖炒栗子吃的是里面的东西。


实质要上升到方程的层面,方程都是不变的。哈密顿方程如图所示,如果你对里面位置和动量做一个变换的话,哈密顿要求你变换出来的方程和原来的方程必须给我长得一模一样,大家记住没有?是坐标变换以后你得到的方程要和原来的方程长得一模一样,这样的变换才叫正则变换,而这个方程因此才成为了正则方程,这是我们整个学经典力学里面最核心的地方。

学会这个方程,再往下一步学哈密顿方程,你再进入统计力学和量子力学就简单了。为什么我们学统计力学和学量子力学的时候觉得那么难?那是因为经典力学你根本就没学。

这样一个关于变换和不变性的理论,到了1918年就达到了高峰,有一位叫艾米·诺特(Emmy Noether)的女士在这一年发表了这篇著名的叫 “不变的变分原理” 这样的文章,把对称性和守恒性连接起来,才有了真正意义上的理论物理,做这个工作的时候,这位女士才36岁,最重要的是艾米·诺特女士是一个文科毕业生。

很多人说变换不变性你说了半天我也没理解,其实特别好理解,就是我们世界上有一个叫做婚礼誓词的东西,那是对变换不变性的最好的诠释。大家回忆一下婚礼誓词是什么,它的内涵是

天可以变,地可以变,我可以变,但是你得对我好这一条不许变。

这就是变换不变性。懂得这句话,物理学你就学会一半了。

有了这样一些心理准备,我们现在就可以谈学问了,进入平常大家所说的相对论,狭义相对论。

#狭义相对论

狭义相对论开始于什么呢?开始于麦克斯韦方程组,

根据电磁学感应定理原本最后一个方程是左边一项右边一项,麦克斯韦加上了加号右边的这一项,非常伟大。加上这一项的伟大意义,杨振宁先生以九十多岁的高龄去国家天文台去年的讲话,大家可以去找顶级科学家怎么谈论这一块的,很多老师竟然对加上这个东西觉得无所谓,一笔带过,这个实际上是改变我们世界的东西。

引入 洛伦兹规范

方程变成了弦振动方程的模样

写成这样的方程,世界就改变了,因为这个方程是人们已经熟悉的琴弦的振动方程。琴弦振动的时候会向空气里面传出声波,那么我的电磁现象能够写成这样的方程,难道世界上电磁还有波?

麦克斯韦说:

应该有电磁波


1887年,赫兹用这样一套交变电路演示了(可能)电磁波,这套装置就是电报的原型机。

一个德国人说我来搞定,于是在 1887 年赫兹就用上图所示这样一个装置打出火花,用简单的金属线栓着两个金属球之间的缝隙也看到了火花,这被当做存在电磁波证据的实验,其实它仅仅是能说你这个地方的东西能够飞到远处,后来这个实验装置本身产生出了著名的东西,叫电报

但是赫兹做出这样装置的时候,他自己都没认识到其意义。当他的助手问他,你做这样一个实验的意义是什么?赫兹说,能够证明麦克斯韦非常伟大。助手说,那还有没有什么用?赫兹说,这个真没用。但是这个消息传出去以后,有一个 15 岁的意大利小男孩,正好就在德国和意大利中间的阿尔卑斯山上度假,他听说有一个火花在这个地方打出来,在另外的地方也闪现了,他觉得可以发出信息,这个小男孩就是电报的发明人马可尼所以我们做实验的时候,任何结果都是结果,千万别随便扔。

既然有电磁波,你去计算一下电磁波的速度,发现和当时测到的光速速度差不多,所以让人怀疑光难道也是电磁波。如果光也是电磁波的话,这个速度就成问题了,因为这个地方的速度是从这两个常数 和 算过来的,老师做题的时候都会说水相对于河岸的速度是多少,船相对于河岸的速度是多少,当我们谈论速度的时候,始终都会说相对于什么,速度是多少。但是我这地方的速度是从两个常数算过来的,没有参照系的事。

回顾一下从麦克斯韦方程组得出麦克斯韦波动方程,到出现电磁波验证的问题,我个人是非常感慨的。电磁波方程的推导,是严谨的推导;而电磁波的演示,是坦诚的验证,而且验证的这个人一句大话都不往外说,这一点相比如今很多实验是“心里有鬼才画鬼”的实验,这样的人和这样的事才尤其值得我们尊重,当然也更加正确。

现在我们有一个电磁波方程

有一个德国人说:把这个地方的时间和坐标变成这样一个、的时候,方程的形式就可以不变。

这可以说是个数学游戏,也可以说是对光本身的理解。当时的学问叫球变换,一团火光从中心向外发射的时候就是球形出去的。而如果运动的时候,这一团火光看起来还是球形的,这就是球变换。 光学书里面常见的错误就是球面波这个翻译,这是错的,是球波,不是球面波,是从光源算起,整个空间是充满的,而不仅仅是波前的球面。而洛伦兹变换就是让球还是球的变换,大家一定要记住这一条

接下来很多人参与研究这样的变换,洛伦兹,拉莫尔(Larmor)都来研究它。到了 1905 年,法国一位大神庞加莱(他研究了一个特别小的问题,三体问题,就被我们中国的刘慈欣先生写成了小说,风靡世界)就说,这样一个变换应该有一个重要性质——应该构成群。构成群是什么意思?不用管,就知道我们这个大神说什么就是一言九鼎。庞加莱说这个变换应该叫做洛伦兹变换,于是这事就叫洛伦兹变换了,谁也没办法。提醒大家一句,相对论的精髓就是这样一个变换构成的群叫洛伦兹群,如果你把简单的时空平移再加上以后,那就是更大的群,叫庞加莱群,是狭义相对论的学问。不用这样的概念谈论的相对论都不是相对论,请大家记住。


怎么去推导这样一个变换?尤其是对于研究生、大学生来说这个变换怎么推导呢?特别简单,如果你懂这些道理就特别简单。

按照这三条要求的时候很轻松的就能推导出洛伦兹变换,大家不用去记,请大家记住很重要的一条东西,你学科学的时候,当你理解的时候你就发现特别好记了,过去的东西不好记就是你没理解,弄不清楚它之间的关系。

有了这样一个洛伦兹变换,并且构成群的性质,我们想说的是什么呢?一是变换这里有个参数是速度,再变换一次还有速度这个参数。既然构成群,两次变换可以通过一次变换达到,这一次变换的参数 和刚才的 、 有什么关系?就是我们相对论书里见到的,是中学时候学到的速度相加的公式。

这个公式有一个性质:

、 都小于 的话,你加出来的结果也小于 。

“光速是质量粒子速度上限”,“光速是常数”等等,你经常有听到这样一些话,但是这个地方是速度本身作为一个参数和 的性质没牵扯到一起,光速一定要作为一个特殊对象要另外理解,我再提醒大家光速最要命的地方是,它没有参照物,就像一般人互相会比谁比谁更有钱,你发现皇帝跟谁比有钱?因为天下东西都是他的,他没法比,他不可以跟你比。

现在的问题来了,关于电磁波,关于电磁波的变换,关于速度的认识,关于这里面变换构成群的认识,到 1905 年都完成了,而这一年爱因斯坦 26 岁,仅仅是专利局的一个小职员,请问为什么发展了相对论这样一件事情会落到了他的头上。

大家想过这个问题没有?1905 年狭义相对论几乎所有内容都在了,为什么创立了狭义相对论这样一个名声落到了爱因斯坦这样瑞士专利局三等技术专家的头上?

这出在一个很要命的问题上。大家都戴过手表,会发现手表这个问题很要命。过去戴手表的时候,一屋子里只有一个人戴手表,我们是知道几点的,但有两个人戴手表就不知道是几点了,因为大家手表显示的数不一样。以前机械表误差更大,据说巴黎市政厅和巴黎火车站时间都相差很大,这很麻烦。所以大家记住很重要的东西,钟表不能告诉你时间,与它相媲美的还有另外一个问题,就是没有任何一个温度计是测温度的,我们每个学物理的人都要思考这一问题。温度计从来不测温度这个问题我们有空再聊,今天我们单聊钟表不能告诉你正确时间,这是要命的问题。

钟表不能告诉我们时间我们要钟表干嘛?我们来思考,钟表有什么问题?我们先看假设两个火车站之间各自有个钟表,会出现什么情况?我们有一列车从北京出发,发电报给上海火车站说:我的列车八点钟开了。而你在上海火车站接到这个电报的时候,你会发现,电报没有任何意义。因为我哪知道你这个钟表八点钟是什么时候。要想让这句话有意义,那就要建立起校准的过程,校准怎么校呢?这里需要靠光(电报)建立起联系。

假设我在 时刻从甲火车站发一个光信号,到乙火车站的时候再反射回来,反射信号在 时刻被接收到,此时,再往乙火车站发一个信号。而对乙火车站来说,收到第一个信号并弹回去的时刻是 ,第二次收到信号的时刻是 ,如果 与 相等的话,那两个钟表量度长度是一样的了。

如果我进一步要求 ,那这两个钟表的指针就调到了相同的位置,而且转动的速度一样,我们就可以说这两块钟表校准了。但是问题还没完全得到解决,因为在火车跑的过程中,列车长也得研究怎么校准时钟。比如说北京站发出去之后,北京站站长就不管了,上海站站长很着急,你到哪儿了。火车上列车长说我九点过济南了,又没意义,因为火车是运动着的。这就有运动和静止的钟表如何校准的问题,而爱因斯坦一战成名的文章就是因为这个问题,而我们中英文教科书里都没有提这个事情。

看看爱因斯坦多伟大,这位瑞士联邦专利局三等技术专家,瞄准了静止的钟表和相对运动的钟表之间如何校准的问题,冥冥之中正好这些因素就凑到一块了。 狭义相对论的三个关键存在,火车、电报、钟表,关于这段的故事,请大家有空读《爱因斯坦的钟表和庞加莱的地图》,讲得非常详细。

爱因斯坦给出一个方程,


这是一个微分方程,这个微分方程的解就是洛伦兹变换,神奇不神奇。当然别人是从已知的地方推出来的,而爱因斯坦竟然从这样一个技术方面的工作导出了方程,这个方程的解是洛伦兹变换。当然了仅仅是得出这样一个别人已经知道洛伦兹变换的结果并不会造就你的伟大,所以说爱因斯坦会有更深刻的思考。

比方说关于相对性原理,一个物理过程相对它静止看到的规律和相对它运动看到的规律应该是一样的。可是许多人仅仅是会背这样一句话,你拿它用到具体问题上了吗?爱因斯坦用到具体问题上,我们说一个原子向两个方向发出两个光子的过程,相对于静止看,是满足能量守恒、动量守恒。你相对它有一个速度 ,还满足动量守恒和能量守恒,你把这两种情形的能量守恒和动量守恒四个式子写出来的时候,这四个数学式子就可以来回倒腾,得到一个很重要的结论,

原子发光的过程原子要“变瘦”,质量要少,这个大家也能理解。你跑到操场上,连跑带喊的,时间长了你也瘦。所以原子发光的过程质量会减少,但是重要的是减少多少。从这个公式出发爱因斯坦考虑了这个过程,减少的质量乘上光速平方应该是光的能量。但这样一个作为狭义相对论标签式的方程 是普朗克最先写出来的。请大家记住非常重要的一条,第一个对相对论做出响应的大物理学家就是普朗克,这个世界上第一个相对论方面的博士就是普朗克的博士,普朗克是相对论的奠基人之一。

核化学进展表明,我们发现原子核裂变的时候,原子核质量确实是减少了,减少的部分变成了动能。但是这样一个思想,包括这样一个公式 的出现,其实根本不用等到 1905 年。在 1903 年一本意大利语的杂志里,一个意大利工程师 Olinto De Pretto 早就写出这个公式了。

狭义相对论对力学和电磁学的改造


可以看到经典电磁学和经典力学爱因斯坦学得很好,既然是狭义相对论就一定用四矢量谈论问题,不要再将时空和空间分开了。这里不是嘴上说不是分开的,是你的数学表达式不能把它分开。时空是这样的四矢量 ,动量是这样的四矢量 ,前面就是我们常说的动量,后面是能量,这样的四矢量也满足洛伦兹变换,于是我们就得出动量和能量的变换。动量、能量变换有一个性质是四矢量模平方不变,把平方写在一起的时候就得出了下面的这个公式,

这就是狭义相对论运动粒子能量表达式,人家得出这些重要结果的数学推导过程,基本上不超过我们现在高中数学的水平,但是人家会思考问题。

能量、动量有四矢量,要构建角动量的时候是这样的矩阵。


其实里面的 就是我们常说的角动量, 是新的量,表达成相对论统一的,能表达这么优雅的矩阵表达式是我 2019 年才想起来的,关于这一点我非常骄傲。能写出这样张量表达式的时候,洛伦兹变换就是二重洛伦兹变换,我们这个角动量就好解决了。如果大家不熟悉的话,关于电磁场的洛伦兹变换是有的,电磁场张量

就是满足二重的洛伦兹变换的问题

欧洲这帮物理学家可以说是非常的“丧心病狂”,1905 年的狭义相对论出来,到 1907 年的时候基本上就没事了。所以就有问题了,什么问题呢?我们要深入考虑,考虑它的应用问题等等。比如说关于狭义相对论我们一定要特别特别关注这样一个最需要讨论的对象,就是光速,光速是什么。光速在 这个写法里就是把时间的量纲变成长度的量纲,光速是时空的连接。光速在能量和质量相关系的时候,把它写成 这样的时候,光速的平方是比例因子,始终是一个常数,虽然叫速度,但是是没有参照系的一个常数。

所以对光速的理解,光速真的不算速度,或者说就是速度它也不是你说的别的速度,这句话我仿照的是世界的数学物理中心德国北部哥廷根这个小镇子的一句话,这个酒馆墙上刻着“哥廷根以外没有生活”,就算有生活也不是我们这儿的生活,所以光速不是速度,如果你要坚持认为它是速度,那也不是别的那样的速度。

所以说光速作为一个基本物理常数,在这之前还有哪个基本物理常数被发现呢?1900年引入的普朗克常数 。所以为什么普朗克对爱因斯坦的工作特别敏感,率先响应?因为这个世界上又出现了一个基本物理常数。


普朗克很快就派他的助手去看那个穷困潦倒的爱因斯坦。因为他来自柏林,又是著名大学教授的助手还是比较有钱的,来看爱因斯坦,爱因斯坦就递给他一支特别劣质的香烟,他实在抽不下去,趁着爱因斯坦不注意把烟扔水里了。但是普朗克和这位助手,都成为了发展相对论的人,普朗克某种意义上是爱因斯坦的保护人,他们俩之间算友谊也好,非常有趣,1929年设立了普朗克奖,首届获奖人竟然是普朗克本人和爱因斯坦。

狭义相对论与我们的生活


相对论和我们的生活有什么关系呢?这很重要。相对论一个很重要的意义是打破了同时性具有绝对性的概念,就是两个时间点到底同时不同时不具有绝对性的意义,但是我们很多日常生活又确实需要对时间有某种意义上的绝对性意义。从前我们戴手表的时候大家定时都要把手表上的钮拧一拧,我们现在手机拿出来显示的是同样的时间,为什么这样?因为中国科学院国家授时中心管你这个事情。

光速是一个常数还是整数,也就是说它是个约定的东西,距离、间距等于光速乘常数,雷达、北斗导航卫星值钱的地方实际上是什么?是钟表。我们是通过测量时间间隔来决定两点之间距离的,因为光速这个值很大, 大家可以想象一下,如果距离相差一公里的话,时间相差才是三十万分之一秒。比如原子喷泉钟,据说我们当前的精度可以达到十的负十六次方,这是高精度的表。

当然反过来说,这样一个公式,也就说明光速太大,要想出现有明显可感觉的时间差的时候,这个空间尺度要非常大。比如说宇宙尺度上,我们的探月过程,我们的地球到月亮的距离差不多是 1 光秒多一点,信号来回一趟的时间就是 2 秒多,再加上一点反应时间,差不多是 4 秒,所以就有著名的探月过程,陆月器最后有黑暗 4 秒的说法,也就是最后那 4 秒它的行为只能靠它自己。在地球到月亮的宇宙尺度上才会出现差不多 3 秒左右的黑暗时间的问题,这样反过来也说,就是在我们人的日常生活中,有两三秒的时间差异或者时间延迟的话,我觉得这是可以谅解的,可以容忍的,这也可以作为我们对一个人是否拖沓,是否拖延的判据。拖沓、拖延 3 秒以内的我觉得是可以容忍的,像今天这个天,如果你女朋友让你到外面取外卖,你磨蹭不超过 3 秒不跟你翻脸的话,建议这样的好女孩你要珍惜,继续交往。

关系 和比例系数让我们知道——质量减少一点点,得到的能量是非常大的,这是我们利用核能源的关键理论基础,不给大家细讲了。

#狭义相对论的局限

接下来到前几年还出现了非常狭义相对论之说 (very special relativity),其实说的就是过去的麦克斯韦方程组或者洛伦兹变换这个群太大了,而实际很多物理过程用不到那么大的群,小一点的群,像 群, 群也就够用了。狭义相对论还有一个叫法,意思是加了限制的相对论。这样一个小群只能把相对论限制得更死了,就是这么一个意思,这是 2004 年的工作。


接下来我们看狭义相对论的局限。它是关于电磁学的对称性,不适用于引力的问题。因为我们谈论引力理论的时候,两个物体互相吸引的力我们认为是瞬间就到达的,没考虑引力传播还需要点时间。当然有人说了,我们在考虑电磁学的时候,库仑定理也没考虑两个电荷之间的作用传播需要时间。

后来是怎么弄的?电磁学是这么弄的,就是把距离再减去一个 ,考虑到了时间延迟,这就是著名的延迟势的概念。这样处理引力行不行?不行,因为这个地方吸引的是电荷,电荷另外一边才是质量。如果你用来处理引力就不行了,这上面本身是质量,前面还是质量,这变成了纠缠不清的一个非线性问题,最后结果不对。

所以说这一套把洛伦兹变换用到了引力理论的方法走不通。

因此到了1907年的时候,当爱因斯坦被邀请去对狭义相对论做个总结的时候,爱因斯坦认识到了这样一个问题,他说我来推广相对论吧。当他把相对论推广了的时候,才有了所谓的狭义相对论。因为你不推广它,没有更加广泛的相对论也显不出原来是狭义的。狭义相对论是 1905 年做出来的,但是 1907 年才有人想到推广他,后来才被命名为狭义相对论

狭义相对论的硬核内容

爱因斯坦开始推广相对论,就是因为他要为整个物理学构造出一揽子关于时间和空间的方案,不能光适用于电磁学,也要适用于引力。可是怎么考虑呢?这时候你就要对相对论本身的内容有所理解,相对论的内容是什么?洛伦兹变换以及时空距离。最重要的是这个时空距离要表达成一般的几何问题,这个工作是谁做的?据说是爱因斯坦那个不太能瞧得上他的老师闵可夫斯基(Minkowski)做的。

他来自这个世界上最神奇的地方,就是普鲁士的,也就是现在俄罗斯的加里宁格勒,提出哥德巴赫猜想的哥德巴赫,还有康德这些人都来自这个小镇子。在这之前他就有一本著名的书,有多少数学老师?哪个学校的教过孩子们“数”的几何?有哪个学校教过 1,2,3,4,5,6 这些数是有几何的?这就是人家闵可夫斯基高的地方,把时间和空间缝在一起,这就是闵可夫斯基几何问题。

如果你要想从几何的角度推广这些理论的话,就必须有普适性、一般性。四维空间几何的理论,要乘上一个一般的对称矩阵,叫度规的一个东西,就是如何规定空间里面两点距离的一个东西,这是所有广义相对论的关键。

请大家记住,物理学是几何学,懂得这个道理的人,他就知道,量子力学表现的是几何学,因为量子这个词就出现在 1854 年黎曼的那篇著名的几何学论文的第一句的最后一个词,而那里面第一句所表现的思想就是空间的量子化,几何量子化。而到了1924年,玻色就是用相空间的几何量子化,得出来新的黑体辐射公式的推导。而爱因斯坦是熟悉这一套理论的,接下来就有了玻色-爱因斯坦凝聚,这些在我们学起来都是非常艰难的,好像是不相关的学问,他们其实是一体的。

推广相对论


我们看爱因斯坦是怎么推广相对论的。

  1. 引力质量与惯性质量等价;

  2. 参照框架的相对加速度等价于一个均匀引力场。

据说有这么两件事情,其实就是研究一个小物体被大物体吸引的牛顿力学方程。爱因斯坦做的第一件事,就是是认定引力质量和惯性质量等价,惯性质量和惯性质量可以约掉,就是这么简单。

方程左边是加速度,右边是引力势。如果加速度是相对于一个匀加速的参照系,左边就得加个常数加速度,另一边也得加上同样的项,而这个常数就是恒定、均衡的,空间均匀的引力场,参照框架的相对加速度,等价于一个均匀的引力场,这个引力场和加速度凑到一起了。

爱因斯坦说出事了,因为你回顾一下牛顿三定律,第一句话说的是什么?说的是外力等于零的情况下,这个运动是惯性的,可是现在我的加速度和引力分不开了,什么叫加速度等于零的匀速直线运动?爱因斯坦觉得必须把惯性运动这个概念给修正。所以在广义相对论里面,惯性的定义变成了除了引力之外的其他力等于零的情况下的运动叫惯性运动,也就是说从高空往下落的过程中这是惯性运动。

当然做这样的惯性运动也叫自由落体,大家知道自由的下落,说自由下落这个过程是非常 happy 的过程,一个人从高空坠落这个过程是非常 happy 的,什么时候让你感觉到你不 happy 呢,是大地接着你,不让你堕落的时候,痛苦才来的。

据说爱因斯坦 1913 年某一天下午才想明白,原来自由下落的过程是非常 happy 的过程,是感觉不到引力的过程,这个过程是可以当做惯性的,也就是说我可以把惯性运动的概念修订为:

除了引力之外的所有力为零下的运动状态叫惯性。


有了这些认识,原来是说要描述引力的,描述弯曲空间的事情变成如何描述加速度了。怎么描述加速度?我们回忆一下中学物理。有一个简单的例子,匀加速运动。大家想象一下,一辆车从你家地里开过之后,警察来了能看到什么?看到车轱辘印子,好的警察就要通过车轱辘印子判断你这个车是怎么开的。所以说人家很早就有这个思想,一个几何体和一个轨迹都要从他自身去找到描述,不能从外在的世界找到描述。我们知道圆是一维闭合的几何体,我们相当多的同学还有一个特别错误的概念,以为圆有圆心。我再提醒大家一下,圆没有圆心,圆心是引入的辅助的概念。

工人在一个地方要画个圆圈的时候,或者开车的时候画圆圈的时候,只要方向盘打个不变的角度,车会自动画出来圆圈,没有圆心,这是人家西方几何里早就有的思想。有了这些思想你再学人家相对论怎么描述的时候,突然就明白了。

比如说我们学的加速度都是位置对时间的二阶微分,如果回顾描述一条弯曲曲线会用到哪些几何的时候,你会发现人家都是描述位置对距离的二阶微分

而这样一个知识其实在我们的日常生活里都是这样的。比如你如果描述从北京到上海的 G3、G4 高速是怎么描述的?不是给出坐标相对时间的变化,而从来都是车所在的位置相对于起点多少公里处,你告诉我顺着这条路多少公里处就行了,我就能找到你了。所以描述一条曲线正确的参数是这条曲线的长,这样的好处是如果位置相对于轨迹弧长变化的话,你的加速度和弧长本身是垂直的,永远是向心加速度,或者匀速圆周运动告诉我们,加速度和曲率成反比。如果你用这样一个二阶微分公式来写加速度的话,加速度本身就等于轨迹那一点的曲率。于是乎描述加速度这件事情又变成描述曲线怎么弯曲的了,我们需要学的是描述轨迹或者存在的曲面,或者那个空间是怎么弯曲的学问了。

描述曲线怎么弯曲运动以及描述曲面怎么弯曲,这样的一个几何学问又是来自于我们日常生活,尤其是像法国和德国这种地方,生活在丘陵地带的地方,他们的科学家很早做大地测量的时候就知道大地是弯的,怎么在地图里把弯的事情都给表达清楚,就是他们在实践中所创造的学问。据说那个数学大神,被称为数学第一人的高斯,就是一直在忙着测德国地形如何弯曲的过程中发展出了测地线这个学问,在这个过程中接到了他家里派人,匆匆忙忙赶到工作地点送信的,说您赶紧回家吧,您夫人不行了。高斯竟然说,再等一会儿,我马上就完。

在这样一个过程中,高斯、黎曼他们完成了对弯曲空间如何描述的这样一门学问,当然这门学问如何描述弯曲,还有牛顿,以及还有一个法国 16 岁的少年克莱洛,写出了二维平面曲线和三维空间曲线。

1729 年克莱洛写出这样公式的时候仅仅 16 岁,但是在论文后面写出了一个要求,我要当院士。16 岁是未成年人,不能让他当院士,所以就被拒绝了。两年以后,他又写出了三维空间曲线曲率的表达式,就是我们学经典力学里面三维空间标架,切线、法线和第二个法线标架,就是克莱洛 18 岁的时候给我们引进的,他在论文后面又写出这样的要求,我要当院士。大家实在是没脸再拒绝他了,所以克莱洛 18 岁当上的院士。

这些曲率的公式就不给大家讲了,但是越弯曲意味着蓄的能量越大,这一点我们的老祖宗早就告诉我们了,那就是弓。弓拉得越弯力越大,曲率和能量密度的关系我们应该是知道的。爱因斯坦他们后来得到相对论场方程更多借助于材料科学和结构力学方面的知识,就不跟大家讲细节了。

现在我们知道,我们描述时空弯曲就是描述加速度,描述引力也是描述加速度。加速度、引力、曲率、弯曲时空,这些东西凑到一起了,现在我们只需要学会给定弯曲时空,我们知道弯曲时空两点之间距离,就能求出它的曲率,这是爱因斯坦要学的学问。


这一套学问爱因斯坦会不会呢?爱因斯坦不会,这也正常,谁的学问都是从不会到会慢慢学的。但是爱因斯坦不一样,爱因斯坦是贵人,有人相助,谁呢?爱因斯坦的大学同学马塞尔·格罗斯曼(Marcel Grossmann),给爱因斯坦安排了在专利局的工作,思考火车、钟表和电报,于是有了狭义相对论。

爱因斯坦从 1907 年差不多干到 1912 年、1913 年,有很多种方案,最后都不行。到这个时候才明白了

要描述引力,需要有能够描述弯曲、加速度、曲率、弯曲时空的曲率的数学。

于是爱因斯坦问格罗斯曼有没有这方面的数学研究,格罗斯曼在图书馆给他查了一天告诉他,有!现在经过慕尼黑大学往南传到了意大利北面,形成学派,还出了一本书——《绝对微分》(absolute differential calculus),相对论其实就是研究绝对性,这个地方是绝对微分,现在我们叫张量分析。1907 年图利奥·列维-齐维塔(Tullio Levi-Civita)就开始研究相对论。

格罗斯曼告诉爱因斯坦有张量分析和这一本书以后,于是爱因斯坦就开始学习,这是爱因斯坦为了构造他的广义相对论,跟着张量分析这本书现学的。到 1915 年初的时候格罗斯曼介绍了列维-齐维塔跟爱因斯坦认识。一个数学家发现他的工作竟然有人感兴趣!所以你能想象到他的热情——列维-齐维塔这个意大利人用德文和法文一点一点写信教爱因斯坦。而在这冥冥之中,还有一点“宿命”的东西。爱因斯坦上初中的时候,他的爸爸妈妈跑到意大利北部城市米兰开电机厂,所以爱因斯坦说我小时候在意大利待过,请你用意大利语教我。

你们注意到一个问题没有?一个意大利人在用德语和法语,不厌其烦地教爱因斯坦。

弯曲空间的几何


爱因斯坦 1915 年上半年就掌握了张量分析,广义相对论就在这一页,特别简单,上图中第一个公式 就是两点之间的距离公式。虽然看起来特吓人,但其实在二维平面里就是勾股定理,没有什么其他的东西。如果我们初中老师愿意给我们往前稍微引申一点,那时候你学不懂,至少你知道的话,将来学广义相对论就不会害怕。

描述两点之间距离 的矩阵,对它进行微分就得到了这个联络

再进行微分,就得到了黎曼张量

这两个指标一收缩就是里奇张量 ,就是做两步微分的东西。

在上述两次微分的过程中,第一次微分得出了 Christoffel 符号,以此为几何的出发点,于是乎有了规范场论。给定一个联络,更加扩展地定义微分几何,这就是杨振宁先生工作的方向,也是华人数学家陈省身先生工作的方向。黎曼张量里这个黎曼也有来头。黎曼在他 1854 年的论文不仅确定了数学的内容,还是第一个使用了量子,并且也是指明了量子力学本质是几何量子化的一篇论文。

里奇张量则是描述时空怎么弯曲的,在意大利语里奇其名竟然就是弯曲的意思。


推广相对论

从质量密度 产生的弱引力场出发,可以得到方程

这样一个方程得出来,取非相对论能量密度 ,可以得到 。接着扩展到 矩阵都行,也就是 ,其中的 矩阵就是爱因斯坦张量 ,这个过程某种意义上就是猜的。但是猜不丢人,其实猜反而是我们教育、培养物理学家必须要教的功夫。当然了,猜的前提是你要有本事,也有基础。


这个方程是 1915 年 12 月底,爱因斯坦得出的这个方程;1916 年 3 月份,这篇论文正式发表。但是有一个非常诡异的事情,这个吓死人的张量方程竟然在 1916 年 1 月份被人解出来了,解决者的工作条件是什么呢?1916年,既是瘟疫又是世界第一次大战的时候。这位史瓦西(Schwarzschild)老兄是一名炮兵上尉,在战壕里随手把方程给求解出来了。大家看到这里肯定有一个问题。我每想到这里的时候,就想起在我年轻的时候也抱怨过工作条件不好这件事情,我觉得特别不好意思,你工作条件差能差到哪儿去?

1916 年,冬天,瘟疫,战争,冰天雪地的战壕里,人家能把这个方程解出来。为什么他能解出来呢?因为他入伍前是哥廷根大学的数学教授,也是哥廷根天文台的台长。

引力场方程在 1915 年底,1916 年初还是上面这个样子。1917 年爱因斯坦说这个方程的解不是稳态的解,要加一项 ,就是后来宇宙学和天文学里说的宇宙常数项这样一个问题。当然加这一项显得有点随便,但是后来如果学到数学中 Beltrami 不变理论(Beltrami invariant theory)的时候,就知道爱因斯坦还是做得很多的,这个以后再说。


德国哥廷根有一位叫希尔伯特(Hilbert)的教授,哥廷根大学数学系大神。爱因斯坦从 1907 年想到要扩展相对论,干到 1915 年底好像才依稀看到曙光。在 1915 年 12 月 20 日,希尔伯特从作用量出发,用经典力学中的变分法的欧拉-拉格朗日方程就得出了引力的场方程。爱因斯坦废了八年的劲,却还是比人家晚了 5 天,你们能想象爱因斯坦什么心情吗?你干了 8 年,人家随手画画比你早几天,而且用明信片告诉给你了。你能想象爱因斯坦这么伟大的人物也会骂人么?我们很难想象,但是可以理解。

但是希尔伯特实在是个大神,“这有什么好骂的呢”“所有优先权给你不就好了”“多大点事”。所以这件事情让爱因斯坦特别不好意思,爱因斯坦又给希尔伯特回了一个明信片,说像我们俩这么伟大的心灵,为这么点小事,太不好意思了。希尔伯特为什么这么厉害?当然这个时候我们不说这些轶事,我们说一下爱因斯坦一个特别严肃的抱怨——困难不在于找到这样一个方程,困难是要认识到这个地方,这个方程是牛顿引力的推广,是要做物理。爱因斯坦这个说法对不对呢?也对,但是我个人总觉得好像面对这样一个大神,有一种你的累死累活不过就是别人的轻描淡写。

希尔伯特当然太厉害了,在物理上还有一个希尔伯特空间的概念,但是希尔伯特空间不是希尔伯特提出来的,是冯·诺依曼提出来的。据说 1930 年做量子力学报告的时候,冯·诺依曼说量子力学应该用算符本征函数张开的空间,这个空间是希尔伯特空间。希尔伯特坐在底下说希尔伯特空间?我怎么没听说过,所以你看人家大神有多厉害。

他说了一个对我们物理学家伤害很大的话,就是“物理对物理学家来说太难了”,就是你们物理学家能做什么物理啊。这句话对不对呢?反正我看他这句话我是很服气的。

我们再看一下意大利的 Beltrami,他发展了 Beltrami 不变量理论。从这个不变量出发,你会发现关于四维空间里弯曲描述动力学方程只能有这三项

后来爱因斯坦也亲口说,这个方程左边是象牙做的,因为根据微分几何学就必须长这样子。右边是木头的,关于物质的能量、张量、动量,是物理的,保持能量守恒的张量形式差不多到 1965 年才得到,那时候爱因斯坦已经去世了。关于这个不变量理论,从这个角度推导引力场方程也是很容易的,我再强调一下我写这一段的感慨:你的累死累活,不过就是别人的轻描淡写。很伤感,但是我们要是没有能力轻描淡写,还是得累死累活,没办法。

不管怎么样,关于相对论的思想其实很多人都做出了伟大的贡献,一些必要的代数知识和几何知识你也要拥有,这样才能学会相对论,否则你只能读一些电影里所描述的相对论了。

这里接下来我们必须要提到一个人——克里福德(Clifford)。克里福德代数是近代物理学的基础。他曾经说过这么一段

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